Matura z matematyki:
10 celów, krok po kroku

Z równania okręgu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ odczytujesz środek $S=(a,b)$ i promień $r$. Uważaj na znaki: $(y+3{)}^2$ oznacza $b=-3$.

Punkt wspólny prostej i krzywej spełnia oba równania naraz. Wstawiasz $y$ z równania prostej do drugiego równania i zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą.

Szukany punkt zapisujesz przez jedną niewiadomą, na przykład $C=(c,-\frac{1}{2}c+1)$, gdy leży na prostej $y=-\frac{1}{2}x+1$. Zdanie z treści, na przykład o odległości, zamieniasz na równanie z $c$.

Równanie daje zwykle dwa rozwiązania. Zostawiasz to, które spełnia warunek z treści, na przykład dodatnią pierwszą współrzędną, i piszesz, dlaczego drugie odpada.

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania tylko przy $\Delta >0$, nie przy $\Delta \ge 0$. Gdy przy $x^2$ stoi wyrażenie z $m$, dopisujesz, że nie jest zerem.

Warunek z treści sprowadzasz do sumy i iloczynu rozwiązań, na przykład $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$. W zadaniu 5 z czerwca 2025 bez odjęcia $2x_1{x}_2$ zostają 2 punkty z 4.

Wzory Viète’a podają sumę rozwiązań $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ i ich iloczyn $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Po podstawieniu zostaje równanie albo nierówność z samym $m$.

Odpowiedź to tylko te $m$, które spełniają wszystkie warunki naraz. Zaznaczasz je na osi liczbowej i odrzucasz każde $m$ spoza wyniku z $\Delta >0$.

W ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni razy stała $q$, a w arytmetycznym poprzedni plus stała $r$. Trzy kolejne wyrazy $a$, $b$, $c$ ciągu geometrycznego spełniają $b^2=ac$.

Każdy wyraz zapisujesz przez pierwszy wyraz i różnicę albo iloraz: $a_n=a_1+(n-1)r$ lub $a_n=a_1{q}^{n-1}$. Wtedy całe zadanie to układ dwóch równań.

Układ zwykle daje dwa rozwiązania, a jedno z nich łamie treść: ciąg ma być rosnący albo wyrazy dodatnie. Odrzucasz je jednym zdaniem z powodem.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy $|q|<1$, i wynosi $S=\frac{a_1}{1-q}$. Najpierw zapisujesz warunek, potem liczysz.

Z warunków treści wyznaczasz drugą wielkość i wstawiasz ją do wzoru na pole albo objętość. Zostaje funkcja jednej zmiennej.

Długości muszą być dodatnie, a treść często daje ograniczenie, na przykład podstawa najwyżej 10 m. Dziedzina decyduje, czy miejsce zerowe pochodnej w ogóle się liczy.

Pochodna dodatnia znaczy, że funkcja rośnie, a ujemna, że maleje. Pochodną ułamka liczysz wzorem ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$.

Miejsce zerowe pochodnej to tylko kandydat. Minimum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, a maksimum odwrotnie; zapisujesz to zdaniem.

Nierówność $L>P$ zamieniasz na $L-P>0$. Znak jednego wyrażenia łatwiej ocenić niż porównanie dwóch.

Szukasz iloczynu, w którym widać kwadrat, na przykład $(a-2b{)}^2(a+2b)>0$. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

Z $a>0$ i $b>0$ wynika $a+2b>0$. Z $b\ne \frac{1}{2}a$ wynika $(a-2b{)}^2>0$, a nie tylko $(a-2b{)}^2\ge 0$.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność z treści jest prawdziwa. Bez tego zdania nie ma ostatniego punktu.

Wyrażenie pod modułem zmienia znak tam, gdzie jest zerem. Dla $|x-2|-2|x+3|$ to $x=2$ i $x=-3$, czyli trzy przedziały pokrywające całą oś.

Moduł wyrażenia ujemnego w danym przedziale opuszczasz ze zmianą znaku, a nieujemnego bez zmiany. Dla $-3\le x<2$ masz $-(x-2)-2(x+3)<-2$.

Wynik obowiązuje tylko w swoim przedziale. Dla $x<-3$ wychodzi $x<-10$, a dla $x\ge 2$ warunek $x>-6$ spełnia cały przedział.

Sumujesz wyniki ze wszystkich przedziałów i sklejasz sąsiednie kawałki: $x\in (-\infty ,-10)\cup (-\frac{2}{3},+\infty )$.