Matura z matematyki: 10 celów, krok po kroku

Egzaminator sprawdza, czy umiesz przejść cały łańcuch zadania optymalizacyjnego, czyli takiego, w którym szukasz największej albo najmniejszej wartości: zbudować wzór funkcji jednej zmiennej, podać jej dziedzinę, czyli zbiór wartości, jakie zmienna może przyjąć w tej sytuacji, policzyć pochodną i uzasadnić, że znaleziony punkt to naprawdę największa albo najmniejsza wartość. Klucz daje punkt za każde ogniwo osobno. Samo miejsce zerowe pochodnej, bez zbadania jej znaku, nie dostaje punktu za uzasadnienie.

Liczymy każde polecenie „znajdź największą albo najmniejszą wartość”, także z innych działów, dlatego liczby różnią się od celu 3.

1. 1
   Model: zapisz wzór funkcji jednej zmiennej

   Zadanie optymalizacyjne pyta, dla jakiej wielkości pole albo objętość jest największa lub najmniejsza. Najpierw potrzebujesz wzoru, w którym jest tylko jedna zmienna. W zadaniu 13 z czerwca 2023 rozważano graniastosłupy prawidłowe czworokątne, czyli mające w podstawie kwadrat, w których odcinek od środka dolnej podstawy do wierzchołka górnej podstawy ma długość $d$. Ten odcinek, wysokość graniastosłupa $h$ i połowa przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny, więc połowa przekątnej to $\sqrt{d^2-h^2}$, a skoro przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, krawędź podstawy to $a=\sqrt{2}\cdot \sqrt{d^2-h^2}$. Objętość to pole podstawy razy wysokość: $V(h)=a^2\cdot h=2(d^2-h^2)h$. Za te dwa zapisy klucz daje dwa pierwsze punkty.

   Sprawdź: Czy wzór funkcji zależy tylko od jednej litery?
2. 2
   Dziedzina: podaj, jakie wartości zmiennej mają sens

   Dziedzina to zbiór wartości, które zmienna może przyjąć w opisanej sytuacji. Wynika z dwóch rzeczy: długości muszą być dodatnie, a wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne. W tym zadaniu $h>0$ oraz $d^2-h^2>0$, więc $h\in (0,d)$, a za samą dziedzinę jest osobny, trzeci punkt. Dziedzina decyduje też o wyniku. W zadaniu 13.2 z maja 2024 szukasz graniastosłupa o najmniejszym polu powierzchni, a treść mówi, że krawędź podstawy ma najwyżej $8\sqrt{3}\approx 13,9$; pochodna (o niej w następnym kroku) zeruje się dla $a=24$, czyli poza dziedziną, a na całej dziedzinie jest ujemna, więc pole maleje i najmniejsze jest na prawym końcu, w $a=8\sqrt{3}$.

   Sprawdź: Czy dziedzina jest zapisana jako przedział z uzasadnieniem?
3. 3
   Pochodna: policz ją i znajdź, gdzie się zeruje

   Pochodna funkcji mówi, czy funkcja w danym miejscu rośnie (pochodna dodatnia), czy maleje (pochodna ujemna). Tam, gdzie funkcja ma największą albo najmniejszą wartość wewnątrz przedziału, pochodna jest równa zero. Dla $V(h)=2d^{2}h-2h^3$ pochodna to $V^{\prime }(h)=2d^2-6h^2$, a równanie $V^{\prime }(h)=0$ daje $h=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}$. Gdy funkcja jest ułamkiem, liczysz pochodną ze wzoru ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$. W zadaniu 12.2 z maja 2026 kwietnik to trójkąt równoramienny o podstawie $x$ m, nie dłuższej niż 10 m, z okrągłą fontanną o średnicy 4 m styczną do wszystkich boków, a jego pole to ułamek $\frac{2x^3}{x^2-16}$; jeśli policzysz pochodną licznika i podzielisz ją przez pochodną mianownika, dostaniesz 0 punktów za całe rozwiązanie.

   Sprawdź: Czy pochodna ułamka jest liczona wzorem na pochodną ilorazu?
4. 4
   Odpowiedź: uzasadnij, że to maksimum albo minimum

   Miejsce zerowe pochodnej to dopiero kandydat. Ekstremum, czyli największa albo najmniejsza wartość funkcji, jest tam tylko wtedy, gdy pochodna zmienia znak. Piszesz więc: $V^{\prime }(h)>0$ dla $h\in (0,\frac{d\sqrt{3}}{3})$ i $V^{\prime }(h)<0$ dla $h\in (\frac{d\sqrt{3}}{3},d)$, więc $V$ najpierw rośnie, potem maleje i ma największą wartość w $h=\frac{d\sqrt{3}}{3}$. Klucz uznaje opis słowami („rośnie, potem maleje”) albo tabelkę ze strzałkami pod osią. Bez tego zdania tracisz punkt za uzasadnienie, a w zadaniach, które pytają też o wartość, klucz zwykle daje wtedy najwyżej 2 punkty z 4, na przykład w zadaniu 12.2 z czerwca 2025. Samą wartość liczysz na końcu, podstawiając znaleziony punkt do wzoru.

   Sprawdź: Czy przed odpowiedzią jest zapisany znak pochodnej po obu stronach punktu?

Teza to zdanie, które masz wykazać, a założenia to to, co treść mówi o liczbach albo figurze, na przykład że liczby są dodatnie. Egzaminator sprawdza pełne rozumowanie: każde przekształcenie ma być równoważne, każde założenie ma zostać użyte w konkretnym miejscu, a ostatnie zdanie ma mówić, dlaczego teza jest prawdziwa. Sprawdzenie na przykładowych liczbach nie jest dowodem, a w zadaniu 4 z maja 2023, 2 z maja 2025 i 3 z maja 2026 klucz daje za nie wprost 0 punktów za całe zadanie. W dowodzie geometrycznym zasada jest ta sama: każda równość odcinków albo kątów ma swój powód, na przykład twierdzenie o odcinkach stycznych.

1. 1
   Założenia: wypisz, co wiesz o liczbach

   Dowód to rozumowanie, które pokazuje, że teza, czyli zdanie do wykazania, jest prawdziwa dla wszystkich liczb spełniających założenia, a nie tylko dla kilku wybranych. W zadaniu 2 z maja 2025 masz wykazać, że $(a+2b{)}^3>8a^{2}b+16a{b}^2$ dla dodatnich $a$ i $b$, przy czym $b\ne \frac{1}{2}a$. Założenia są trzy: $a>0$, $b>0$ oraz $b\ne \frac{1}{2}a$. Każde z nich klucz chce zobaczyć użyte w konkretnym miejscu rozumowania. Sprawdzenie nierówności dla $a=1$ i $b=1$ to 0 punktów za całe zadanie, bo pokazuje tylko jeden przypadek z nieskończenie wielu.

   Sprawdź: Czy każde założenie z treści zostało gdzieś użyte?
2. 2
   Przekształcenie: sprowadź do iloczynu z kwadratem

   Przenosisz wszystko na jedną stronę, żeby porównywać wyrażenie z zerem. Rozwijasz $(a+2b{)}^3=a^3+6a^{2}b+12a{b}^2+8b^3$ i po odjęciu prawej strony masz $a^3-2a^{2}b-4a{b}^2+8b^3>0$. Grupujesz wyrazy parami: $a^2(a-2b)-4b^2(a-2b)=(a-2b)(a^2-4b^2)$, a ze wzoru na różnicę kwadratów wychodzi $(a-2b{)}^2(a+2b)>0$. Za tę postać klucz daje 2 punkty z 3. Każde przejście musi być równoważne, czyli działać w obie strony, bo wtedy prawdziwość ostatniej nierówności oznacza prawdziwość pierwszej.

   Sprawdź: Czy każde przejście jest równoważne, czyli działa w obie strony?
3. 3
   Wniosek: powiedz, dlaczego iloczyn ma właściwy znak

   Postać $(a-2b{)}^2(a+2b)>0$ to jeszcze nie dowód, tylko nierówność do uzasadnienia. Ostatni punkt jest za zdanie, które mówi, skąd znak każdego czynnika: $a+2b>0$, bo $a$ i $b$ są dodatnie, oraz $(a-2b{)}^2>0$, bo z $b\ne \frac{1}{2}a$ wynika $a-2b\ne 0$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność z treści jest prawdziwa. W dowodzie geometrycznym działa to tak samo. W zadaniu 6 z czerwca 2023 z punktu $A$ poprowadzono dwie styczne do okręgu, dotykające go w $P$ i $Q$, a trzecia styczna, dotykająca okręgu w $D$, przecina odcinki $AP$ i $AQ$ w punktach $B$ i $C$; wiadomo, że $|AQ|=5|BP|$ i $|CD|=2|BD|$. Każdą równość odcinków uzasadniasz założeniem z treści albo twierdzeniem o odcinkach stycznych (odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu są równe), a po oznaczeniu $|BP|=x$ wychodzi $|AC|=|BC|=3x$, więc trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

   Sprawdź: Czy ostatnie zdanie mówi, dlaczego każdy czynnik ma właściwy znak albo dlaczego odcinki są równe?

To polecenie ma dwie postacie: nierówność z wartością bezwzględną i równanie trygonometryczne, którego rozwiązania tworzą serie, czyli nieskończenie wiele rozwiązań zapisanych jednym wzorem, na przykład $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k$ to dowolna liczba całkowita. W obu egzaminator sprawdza, czy zbiór rozwiązań jest kompletny i nie ma w nim nic zbędnego, dlatego punkty są za kolejne etapy: podział na przypadki albo sprowadzenie do iloczynu, rozwiązanie w każdym przypadku, część wspólna z przedziałem i końcowy zbiór. Zgubiona seria albo jeden zły przypadek zabiera zwykle 1 lub 2 punkty: najwyżej 2 z 4 za błąd znaku w jednym przedziale, najwyżej 3 z 5 za dzielenie przez czynnik z niewiadomą.

1. 1
   Podział: znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod modułem

   Wartość bezwzględna liczby, zapisywana $|x|$, to jej odległość od zera, więc zawsze jest nieujemna: $|x|=x$ dla $x\ge 0$ i $|x|=-x$ dla $x<0$. Wartość bezwzględną nazywa się też modułem, a wyrażenie pod modułem, na przykład $x-2$, zmienia znak tam, gdzie jest równe zero, czyli w $x=2$. W zadaniu 5 z maja 2025 masz rozwiązać nierówność $|x-2|-2|x+3|<-2$, a miejsca zerowe wyrażeń pod modułami to $x=2$ i $x=-3$. Dzielą one oś na trzy przedziały, $(-\infty ,-3)$, $[-3,2)$ i $[2,+\infty )$, które razem muszą pokrywać całą oś, bo inaczej gubisz rozwiązania. Drugi typ tego polecenia to równanie trygonometryczne z przedziałem, na przykład „rozwiąż w $[0,2\pi ]$”, i tam pierwszym krokiem jest przepisanie przedziału, bo na końcu wybierasz z niego rozwiązania.

   Sprawdź: Czy przedziały razem pokrywają całą oś liczbową?
2. 2
   Przypadki: opuść moduł albo zrób iloczyn

   W każdym przedziale opuszczasz moduł osobno. Jeśli wyrażenie jest w tym przedziale ujemne, zmieniasz mu znak, a jeśli nieujemne, zostawiasz. W przedziale $[-3,2)$ wyrażenie $x-2$ jest ujemne, a $x+3$ nieujemne, więc nierówność ma postać $-(x-2)-2(x+3)<-2$, czyli $x>-\frac{2}{3}$. Błąd znaku w jednym przedziale ogranicza wynik do 2 punktów z 4. W równaniu trygonometrycznym odpowiednikiem tego kroku jest sprowadzenie do iloczynu równego zeru, na przykład w zadaniu 10 z maja 2024 równanie $\sin (4x)-\sin (2x)=4{\cos }^{2}x-3$ sprowadza się do $(\sin (2x)-1)(2\cos (2x)-1)=0$. Po drodze jest postać $\sin (2x)(2\cos (2x)-1)=2\cos (2x)-1$ i kusi, żeby podzielić obie strony przez $2\cos (2x)-1$, ale wtedy znikają wszystkie rozwiązania, dla których ten nawias jest zerem, a klucz daje najwyżej 3 punkty z 5.

   Sprawdź: Czy w każdym przedziale znak przed modułem jest dobrany do tego przedziału?
3. 3
   Część wspólna: przytnij wynik do przedziału

   Wynik z każdego przypadku obowiązuje tylko w przedziale, w którym ten przypadek rozważasz. Dla $x<-3$ oba wyrażenia pod modułami są ujemne, więc nierówność ma postać $-(x-2)+2(x+3)<-2$, czyli $x+8<-2$ i $x<-10$; to mieści się w $x<-3$, więc zostaje $x<-10$. Dla $x\ge 2$ wychodzi $x>-6$, a to spełnia każda liczba z tego przedziału, więc bierzesz całe $[2,+\infty )$, a nie $x>-6$. W trygonometrii tym krokiem jest wybór rozwiązań z przedziału. Seria $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ daje w $[0,2\pi ]$ dwie liczby, $\frac{\pi }{4}$ i $\frac{5\pi }{4}$, bo dla $k=0$ i $k=1$ wynik mieści się w przedziale, a dla innych $k$ już nie.

   Sprawdź: Czy wynik z każdego przypadku jest przycięty do jego przedziału?
4. 4
   Zbiór: zapisz odpowiedź jednym zbiorem

   Na koniec sumujesz wyniki ze wszystkich przedziałów. W zadaniu z maja 2025 wyszło: $x<-10$, $x\in (-\frac{2}{3},2)$ oraz $x\ge 2$, więc $x\in (-\infty ,-10)\cup (-\frac{2}{3},+\infty )$. Sąsiednie kawałki sklejasz w jeden przedział. W równaniu trygonometrycznym z przedziałem wypisujesz wszystkie liczby z obu serii. W zadaniu z maja 2024 jest ich sześć: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{11\pi }{6}$. Ostatni punkt jest właśnie za kompletny zbiór.

   Sprawdź: Czy odpowiedź to jeden zbiór, a nie trzy osobne wyniki?