Matura podstawowa z matematyki: 10 celów, krok po kroku

Polecenie „oblicz” albo „wyznacz” z dopiskiem „zapisz obliczenia” oznacza, że klucz ocenia tok, czyli kolejne zapisy prowadzące do wyniku, a nie sam wynik. Na maturze podstawowej to najczęściej prawdopodobieństwo, wzór funkcji kwadratowej albo ciąg z warunkiem. Pierwszy punkt jest zwykle za zapis tego, co wiesz z treści: liczby wszystkich wyników losowania, postaci wzoru funkcji albo równania z ciągu. W zadaniach z prawdopodobieństwem same liczby, z których nie wynika, co oznaczają, dostają 0 punktów za całe zadanie.

1. 1
   Model: zapisz, co oznacza każda liczba

   Prawdopodobieństwo klasyczne to wynik dzielenia $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$, gdzie $|\Omega |$ to liczba wszystkich możliwych wyników, a $|A|$ to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$. W zadaniu 32 z czerwca 2023 z liczb od 1 do 8 losujesz kolejno dwie bez zwracania, czyli wylosowana liczba nie wraca do puli, a zdarzenie $A$ to wylosowanie dwóch liczb, których suma dzieli 8. Pierwszą liczbę wybierasz na 8 sposobów, drugą na 7, więc $|\Omega |=8\cdot 7=56$. Dzielniki 8 to 1, 2, 4 i 8, ale suma dwóch różnych liczb od 1 do 8 wynosi co najmniej 3, więc zostają sumy 4 i 8 i wypisujesz pary: $(1,3)$, $(3,1)$, $(1,7)$, $(7,1)$, $(2,6)$, $(6,2)$, $(3,5)$, $(5,3)$; pary $(2,2)$ i $(4,4)$ odpadają, bo liczba nie może wypaść dwa razy. Za $|\Omega |=8\cdot 7$ albo za tę pełną listę klucz daje 1 punkt.

   Sprawdź: Czy przy każdej liczbie widać, co ona liczy?
2. 2
   Rachunek: każdą niewiadomą policz z konkretnego warunku

   W zadaniu 14 z maja 2026 parabola, wykres funkcji $f$, ma wierzchołek $W=(3,-2)$, a funkcja $g(x)=f(x+1)$ ma miejsce zerowe 0; trzeba podać wzór $f$ w postaci ogólnej, czyli $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Z wierzchołka masz $f(x)=a(x-3{)}^2-2$. Skoro $g(0)=f(0+1)=0$, to $f(1)=0$, więc $a(1-3{)}^2-2=0$, czyli $4a=2$ i $a=\frac{1}{2}$. Po rozwinięciu $\frac{1}{2}(x-3{)}^2-2=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{5}{2}$. Klucz daje 1 punkt za $f(x)=a(x-3{)}^2-2$, 2 za dopisanie, że 1 jest miejscem zerowym $f$, 3 za $a=\frac{1}{2}$ i 4 za wzór w postaci ogólnej.

   Sprawdź: Czy każda niewiadoma jest policzona z punktu albo warunku z treści?
3. 3
   Odpowiedź: napisz dokładnie to, o co pytają

   Ostatnia linia ma odpowiadać na pytanie z polecenia, a nie na pytanie pomocnicze. W zadaniu 15 z maja 2026 ciąg ma wzór $a_n=3n+5$, a wyrazy $a_1$, $a_9$, $a_k$ tworzą ciąg geometryczny, więc $a_1=8$, $a_9=32$ i z warunku $b^2=ac$ masz $32^2=8\cdot a_k$, czyli $a_k=128$. To jeszcze nie jest odpowiedź, bo pytanie brzmi „oblicz $k$”: $3k+5=128$, czyli $k=41$. Klucz daje 2 punkty za równanie $32^2=8(3k+5)$ albo za wyrazy $8$, $32$, $128$, a trzeci dopiero za $k=41$.

   Sprawdź: Czy ostatnia linia to liczba, o którą pyta polecenie?

Tu liczysz długość, pole, objętość albo współrzędne punktu, a klucz daje punkt za każdą wielkość pośrednią, którą wymienia, na przykład za wysokość bryły, krawędź podstawy albo środek odcinka. Egzaminator sprawdza, czy każda liczba ma powód: trójkąt prostokątny i funkcję trygonometryczną, twierdzenie Pitagorasa albo wzór z geometrii analitycznej. Założenie, którego treść nie daje, na przykład że ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, daje według kluczy zwykle 0 punktów. Wyjątek: gdy wysokość bryły jest policzona poprawnie, zostaje za nią 1 punkt.

1. 1
   Rysunek: znajdź trójkąt prostokątny z danymi

   Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a jego wierzchołek $S$ leży dokładnie nad środkiem $O$ tego kwadratu. W zadaniu 26 z maja 2023 wysokość ściany bocznej, czyli odcinek $SE$ od wierzchołka do środka $E$ krawędzi podstawy, ma długość 6 i jest nachylona do podstawy pod kątem $30^{\circ }$. Kąt nachylenia odcinka do podstawy to kąt między tym odcinkiem a jego rzutem, czyli cieniem, jaki odcinek rzuca pionowo na podstawę; tu rzutem $SE$ jest $OE$. Powstaje trójkąt prostokątny $SOE$ z kątem prostym przy $O$, w którym $|SE|=6$, $|SO|=H$ to wysokość ostrosłupa, a $|OE|$ to połowa krawędzi podstawy.

   Sprawdź: Czy kąt z treści leży w trójkącie, w którym są dane i szukane?
2. 2
   Rachunek: sinus i cosinus w tym trójkącie

   W trójkącie prostokątnym sinus kąta to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta podzielona przez przeciwprostokątną, a cosinus to przyprostokątna leżąca przy kącie podzielona przez przeciwprostokątną. Naprzeciw kąta $30^{\circ }$ przy $E$ leży $SO$, więc $H=6\cdot \sin 30^{\circ }=3$, a przy tym kącie leży $OE$, więc $|OE|=6\cdot \cos 30^{\circ }=3\sqrt{3}$ i krawędź podstawy to $a=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$. Za $H=3$ i $a=6\sqrt{3}$ klucz daje razem 2 punkty. Zamiana sinusa z cosinusem, czyli $H=3\sqrt{3}$ i $|OE|=3$, doprowadzona do końca, daje według uwagi klucza najwyżej 2 punkty z 4.

   Sprawdź: Czy przyprostokątna naprzeciw kąta idzie do sinusa, a ta przy kącie do cosinusa?
3. 3
   Wynik: policz to, o co pyta polecenie

   Na końcu wstawiasz policzone długości do wzorów. Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość: $V=\frac{1}{3}\cdot (6\sqrt{3}{)}^2\cdot 3=108$. Pole powierzchni całkowitej to pole podstawy plus cztery trójkątne ściany, każda o podstawie $6\sqrt{3}$ i wysokości 6: $P_c=108+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=108+72\sqrt{3}$. Klucz daje 3 punkty za objętość 108 albo za pole całkowite razem z $H=3$, a 4 za oba wyniki.

   Sprawdź: Czy w odpowiedzi są wszystkie wielkości wymienione w poleceniu?

Tu wynikiem jest zbiór rozwiązań: kilka liczb przy równaniu albo przedział przy nierówności. Na maturze podstawowej są dwa typy: nierówność kwadratowa za 2 punkty i równanie trzeciego stopnia, rozwiązywane przez grupowanie wyrazów, za 3 punkty. Pierwszy punkt jest za postać iloczynu albo za pierwiastki, czyli liczby, dla których wyrażenie jest równe zeru, a ostatni za kompletny zbiór. Dzielenie obu stron nierówności przez wyrażenie z niewiadomą bez rozważenia jego znaku, czyli tego, czy jest dodatnie, czy ujemne, daje w kluczach z czerwca 2023 i maja 2026 0 punktów za całe zadanie.

1. 1
   Postać: przenieś wszystko na jedną stronę i zrób iloczyn

   Równanie trzeciego stopnia to równanie, w którym najwyższą potęgą niewiadomej jest $x^3$; na maturze podstawowej rozwiązujesz je, rozkładając lewą stronę na iloczyn. W zadaniu 9 z maja 2024 masz $x^3-2x^2-3x+6=0$: z dwóch pierwszych wyrazów wyłączasz $x^2$, z dwóch ostatnich $-3$ i dostajesz $x^2(x-2)-3(x-2)=0$. Wspólny nawias wyłączasz jeszcze raz: $(x-2)(x^2-3)=0$, za co klucz daje 1 punkt. W nierówności też zaczynasz od przeniesienia wszystkiego na jedną stronę: $3x^2+4x\ge 6x+8$ z maja 2026 to $3x^2-2x-8\ge 0$.

   Sprawdź: Czy po jednej stronie jest zero, a po drugiej iloczyn albo trójmian $a{x}^2+bx+c$?
2. 2
   Pierwiastki: każdy czynnik osobno równy zeru

   Iloczyn jest równy zeru, gdy choć jeden czynnik jest zerem, więc każdy czynnik przyrównujesz do zera osobno. Z $x-2=0$ masz $x=2$, a z $x^2-3=0$ masz $x=\sqrt{3}$ albo $x=-\sqrt{3}$, bo kwadrat obu tych liczb to 3; bez rozwiązania $x=-\sqrt{3}$ zostają 2 punkty z 3. W nierówności liczysz pierwiastki trójmianu kwadratowego $a{x}^2+bx+c$, czyli liczby, dla których jest on zerem: najpierw wyróżnik $\Delta =b^2-4ac$, potem $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ i $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$. Dla $3x^2-2x-8$ masz $\Delta =4+96=100$, więc $x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac{4}{3}$ i $x_2=\frac{2+10}{6}=2$, za co jest 1 punkt. Nierówność da się też zapisać jako $x(3x+4)\ge 2(3x+4)$, ale dzielenie obu stron przez $3x+4$ daje według uwagi klucza 0 punktów, bo gdy to wyrażenie jest ujemne, znak nierówności się odwraca.

   Sprawdź: Czy z $x^2=3$ wyszły dwa rozwiązania, $\sqrt{3}$ i $-\sqrt{3}$?
3. 3
   Zbiór: wszystkie liczby albo przedział z ramion paraboli

   Przy równaniu odpowiedzią są wszystkie liczby naraz: $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$, $x=2$, i dopiero za komplet jest trzeci punkt. Przy nierówności szkicujesz parabolę $y=3x^2-2x-8$: liczba przy $x^2$ jest dodatnia, więc ramiona idą w górę, a parabola leży nad osią $Ox$ albo jej dotyka na lewo od mniejszego pierwiastka i na prawo od większego. Stąd $x\in (-\infty ,-\frac{4}{3}]\cup [2,+\infty )$, z nawiasami kwadratowymi, bo znak $\ge$ dopuszcza równość; znak $\cup$ łączy dwa przedziały i czytasz go „lub”; przedział między pierwiastkami dostaje tylko punkt za same pierwiastki. Klucz uznaje odpowiedź tylko wtedy, gdy da się jednoznacznie odczytać, czy nawias jest otwarty, czy domknięty.

   Sprawdź: Czy kierunek ramion paraboli zgadza się z wybranym przedziałem?