Egzamin ósmoklasisty 2026 · matematykaZadanie 8: rozwiązanie krok po kroku

1. Podstaw n = 100

   Zamiast dodawać sto liczb, wstawiasz $n=100$ do wzoru. Najwygodniej najpierw policzyć połowę ze 100.

   $$\begin{gathered}S=\frac12\cdot100\cdot101\\=50\cdot101=5050\end{gathered}$$

   Pierwsza luka: B.

2. Wymnóż nawias

   Czynnik $\frac12n$ mnożysz przez każdy składnik w nawiasie: raz przez $n$, raz przez 1.

   $$\begin{gathered}\frac12n(n+1)=\frac12n\cdot n+\frac12n\cdot1\\=\frac12n^2+\frac12n\end{gathered}$$

   Druga luka: D.

Sprawdzenie na małym n. Dla $n=3$ suma to $1+2+3=6$. Wzór D daje $\frac12\cdot9+\frac12\cdot3=4{,}5+1{,}5=6$, a wzór C daje $\frac12\cdot9+1=5{,}5$. Uwaga na $n=2$: tam oba wzory dają 3, więc jedna próba to za mało, żeby odrzucić zły wzór.

Wzór C, $S=\frac12n^2+1$, powstaje, gdy $\frac12n$ pomnożysz przez $n$, a przy drugim składniku zostawisz samą jedynkę z nawiasu. Mnożenie przez jednomian dotyczy każdego składnika: $\frac12n\cdot1=\frac12n$, nie 1.

Pierwszą lukę sprawdzisz bez wzoru. Liczby od 1 do 100 łączysz w pary z obu końców: $1+100$, $2+99$, $3+98$ i tak dalej. Każda para daje 101, a par jest 50, więc suma to $50\cdot101=5050$. Liczba 5001 do tego nie pasuje.