Arkusz CKE z 5 maja 2026 · zadanie 10

Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 10: rozwiązanie krok po kroku

Q: Kiedy w zbiorze rozwiązań nierówności piszesz nawias kwadratowy?

Gdy nierówność jest nieostra (≥ albo ≤), a koniec przedziału jest pierwiastkiem trójmianu. W zadaniu 10 z matury 2026 znak to ≥, więc −4/3 i 2 należą do zbioru: (−∞, −4/3] ∪ [2, +∞). Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Q: Czy można podzielić nierówność przez 3x + 4?

Nie bez rozpatrzenia znaku 3x + 4. Dla x < −4/3 ten dwumian jest ujemny, a dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Zasady oceniania CKE dają za takie dzielenie 0 punktów za całe zadanie.

Q: Ile punktów było za zadanie 10 z matury z matematyki 2026?

2 punkty: 1 za obliczenie pierwiastków −4/3 i 2, a 2 za poprawny zbiór rozwiązań z dobrymi końcami przedziałów.

Zbiór rozwiązań to (−∞, −4/3] ∪ [2, +∞). Po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę masz 3x² − 2x − 8 ≥ 0. Pierwiastki trójmianu to −4/3 i 2, a parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości nieujemne są na lewo od −4/3 i na prawo od 2, razem z tymi liczbami. Za taki wynik z poprawną metodą klucz CKE daje 2 punkty.

Rozwiązanie krok po krokuz punktacją za każdy krok

Odpowiedź · zadanie 10 $\left(-\infty,-\frac43\right]\cup[2,+\infty)$ oba końce domknięte

📝Otwarte, z obliczeniami, 2 pkt
📚Nierówność kwadratowa
📄Arkusz MMAP-P0-100-2605, wersja A, s. 9
🔑Zgodne z kluczem CKE z 26 czerwca 2026

Treść zadania 10

Przepisane z arkusza CKE (arkusz MMAP-P0-100-2605, wersja A, strona 9). Oryginał w PDF: otwórz stronę 9 na cke.gov.pl.

Zadanie 10. (0–2)otwarte, z obliczeniami

Rozwiąż nierówność

$3x^2+4x\ge6x+8$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 10 krok po kroku

Przenieś wszystko na lewą stronę

Nierówność kwadratową rozwiązujesz, gdy po jednej stronie jest zero.

$\begin{gathered}3x^2+4x-6x-8\ge0\\3x^2-2x-8\ge0\end{gathered}$
Policz pierwiastki trójmianu

$\begin{gathered}\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)\\=4+96=100\\\sqrt\Delta=10\\x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac43\\x_2=\frac{2+10}{6}=2\end{gathered}$

Za ten krok klucz daje pierwszy punkt.
Odczytaj znak z paraboli

Współczynnik przy $x^2$ to 3, więc ramiona paraboli idą w górę. Trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków i równy zeru w samych pierwiastkach. Nierówność ma znak $\ge$ , więc pierwiastki też należą do zbioru i stoją przy nich nawiasy kwadratowe.

$x\in\left(-\infty,-\frac43\right]\cup[2,+\infty)$

Drugi sposób: grupowanie. Lewa strona to $x(3x+4)$ , a prawa $2(3x+4)$ . Po przeniesieniu masz $x(3x+4)-2(3x+4)\ge0$ , czyli $(3x+4)(x-2)\ge0$ . Pierwiastki $-\frac43$ i $2$ widać od razu, bez delty. Klucz CKE pokazuje ten sposób jako jedno z pełnych rozwiązań.

Odpowiedź $\left(-\infty,-\frac43\right]\cup[2,+\infty)$ oba końce domknięte

Za co klucz CKE daje 2 punkty, 1 punkt i 0

Zadanie 10 jest otwarte i warte 2 punkty. Kryteria z zasad oceniania CKE z 26 czerwca 2026:

2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (−∞, −4/3] ∪ [2, +∞) ALBO – zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.
1 pkt – obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3x² − 2x − 8: x₁ = −4/3 oraz x₂ = 2.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Dwie uwagi z klucza mówią, gdzie najłatwiej stracić punkty:

Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób jednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.
Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian 3x + 4 bez rozpatrywania znaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Typowy błąd w zadaniu 10

Najdroższy błąd w tym zadaniu to skrócenie przez $3x+4$ . Ktoś zapisuje $x(3x+4)\ge2(3x+4)$ , dzieli obie strony przez $3x+4$ i dostaje $x\ge2$ . Gubi przy tym całą lewą część zbioru, bo dla $x<-\frac43$ dwumian $3x+4$ jest ujemny i dzielenie przez niego odwraca znak nierówności. Klucz daje za to 0 punktów, choć pierwiastek 2 jest dobry.

Drugi błąd to nawiasy. Nierówność jest nieostra ( $\ge$ ), więc $-\frac43$ i $2$ należą do zbioru. Zapis $\left(-\infty,-\frac43\right)\cup(2,+\infty)$ ma złe końce i traci punkt za wynik, a nawias, z którego nie da się odczytać, czy jest okrągły, czy kwadratowy, liczy się jak błąd.

Podobne zadanie: matura z maja 2025, zadanie 10

W maju 2025 roku zadanie 10 było prawie takie samo, tylko nierówność była ostra i zapisana w innej kolejności. Trzeba było rozwiązać $3(2x^2+1)<11x$ .

\begin{gathered}6x^2-11x+3<0\\\Delta=121-72=49\\x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13\\x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32\end{gathered}

Ramiona paraboli znów idą w górę, ale znak jest $<$ , więc rozwiązania leżą między pierwiastkami i bez końców: $x\in\left(\frac13,\frac32\right)$ . Klucz CKE z 2025 roku dawał tak samo 1 punkt za pierwiastki i 2 za zbiór. Więcej nierówności z lat 2023–2026 jest w analizie matury podstawowej z matematyki.

Pytania o zadanie 10

Kiedy w zbiorze rozwiązań nierówności piszesz nawias kwadratowy?

Gdy nierówność jest nieostra (≥ albo ≤), a koniec przedziału jest pierwiastkiem trójmianu. W zadaniu 10 z matury 2026 znak to ≥, więc −4/3 i 2 należą do zbioru: (−∞, −4/3] ∪ [2, +∞). Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Czy można podzielić nierówność przez 3x + 4?

Nie bez rozpatrzenia znaku 3x + 4. Dla x < −4/3 ten dwumian jest ujemny, a dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Zasady oceniania CKE dają za takie dzielenie 0 punktów za całe zadanie.

Ile punktów było za zadanie 10 z matury z matematyki 2026?

2 punkty: 1 za obliczenie pierwiastków −4/3 i 2, a 2 za poprawny zbiór rozwiązań z dobrymi końcami przedziałów.

Inne zadania z arkusza

Aktualizacja: 3 listopada 2026Źródła: Arkusz CKE MMAP-P0-100-2605, s. 9 Zasady oceniania CKE, s. 9 Matura z matematyki podstawowejProfTutoring to marka Professional Tutoring sp. z o.o.

Na pierwszej lekcji sprawdzimy, gdzie dziecko traci punkty

40 minut z korepetytorem na zadaniach z arkuszy CKE, bez płatności. Po lekcji umawiamy krótką rozmowę z rodzicem: mówimy, co wyszło, i proponujemy plan. Jeśli nie pasuje, po prostu nie kontynuujesz. Zero ryzyka, zero zobowiązań!