Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 11: rozwiązanie krok po kroku

1. Oznacz niewiadome

   Niech $x$ to liczba biletów normalnych, a $y$ liczba biletów ulgowych. Biletów było razem 200.

   $$x+y=200$$

2. Zapisz warunek z pieniędzmi

   Wpływy ze sprzedaży to $35x+25y$. Koszty to 25% wpływów, więc organizatorom zostaje 75%, czyli $0{,}75$ wpływów.

   $$0{,}75\cdot(35x+25y)=4665$$

   Te dwa równania razem to układ, za który klucz daje pierwszy punkt.

3. Rozwiąż układ

   Dzielisz drugie równanie przez $0{,}75$ i podstawiasz $x=200-y$.

   $$\begin{gathered}35x+25y=6220\\35(200-y)+25y=6220\\7000-10y=6220\\y=78\end{gathered}$$

4. Sprawdź

   Biletów normalnych było $200-78=122$. Wpływy: $122\cdot35+78\cdot25$, czyli $4270+1950=6220$ zł, a 75% z tego to $4665$ zł. Zgadza się.

Sposób bez układu. Wpływy to $4665:0{,}75=6220$ zł. Gdyby sprzedano same bilety normalne, byłoby $35\cdot200=7000$ zł, czyli o $780$ zł więcej. Każda zamiana biletu normalnego na ulgowy obniża wpływy o $35-25=10$ zł, więc ulgowych było $780:10=78$. Klucz CKE pokazuje ten sposób jako drugie pełne rozwiązanie.

Najłatwiej pomylić się na drodze od 4665 zł do wpływów. 4665 zł to 75% wpływów, więc wpływy liczysz dzieleniem: $4665:0{,}75=6220$.

Kto zapomni o kosztach i przyjmie, że wpływy to 4665 zł, dostanie $7000-10y=4665$, czyli $y=233{,}5$. To więcej biletów, niż w ogóle sprzedano, i do tego połówka. Kto doda 25% do 4665 zł, policzy $4665\cdot1{,}25=5831{,}25$ i wyjdzie mu $y=116{,}875$. W obu przypadkach liczba biletów nie jest całkowita, więc to sygnał, że błąd jest w procentach, a nie w układzie.