Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 3: rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisz √5 jako potęgę

   Pierwiastek kwadratowy z liczby to ta liczba do potęgi $\frac12$.

   $$\sqrt{5}=5^{\frac12}$$

2. Pomnóż potęgi o tej samej podstawie

   Piątka przed pierwiastkiem to $5^1$. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajesz.

   $$5\sqrt{5}=5^1\cdot5^{\frac12}=5^{1+\frac12}=5^{\frac32}$$

3. Zamień zewnętrzny pierwiastek na potęgę ½

   Teraz potęgujesz potęgę, więc wykładniki mnożysz.

   $$\sqrt{5^{\frac32}}=\left(5^{\frac32}\right)^{\frac12}=5^{\frac32\cdot\frac12}=5^{\frac34}$$

   To odpowiedź C.

Jak to sprawdzić. Podnieś obie strony do czwartej potęgi. Z jednej wychodzi $\left(5^{\frac34}\right)^4=5^3=125$, z drugiej $\left(\sqrt{5\sqrt5}\right)^4=\left(5\sqrt5\right)^2$, a to $25\cdot5=125$. Wyszło to samo, więc wynik się zgadza. Na kalkulatorze prostym: $\sqrt5\approx2{,}2361$, razy 5 daje $11{,}1803$, a pierwiastek z tego to około $3{,}3437$; tyle samo wynosi $5^{0{,}75}$.

Błąd, który prowadzi do odpowiedzi A, to pomnożenie wykładników tam, gdzie trzeba je dodać. Kto zapisze $5\sqrt5$ jako $5^{1\cdot\frac12}=5^{\frac12}$, dostanie potem $\sqrt{5^{\frac12}}=5^{\frac14}$.

Odpowiedź D bierze się z innego skrótu: $\sqrt{5\sqrt5}$ czytane jak $\sqrt5\cdot\sqrt5=5$. Zewnętrzny pierwiastek obejmuje jednak całe wyrażenie pod kreską, a nie samą piątkę.

Dwie zasady, które tu wystarczą: mnożysz potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajesz wykładniki ($a^m\cdot a^n=a^{m+n}$); potęgujesz potęgę, czyli mnożysz wykładniki ($\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$).