Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 4: rozwiązanie krok po kroku

1. Połącz logarytmy w jeden

   Oba logarytmy mają podstawę 8, więc korzystasz ze wzoru na logarytm ilorazu: $\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}$. Liczba z pierwszego logarytmu idzie do licznika.

   $$\log_8 4-\log_8 32=\log_8\frac{4}{32}$$

2. Skróć ułamek

   $$\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$$

3. Zapytaj, do której potęgi podnieść 8

   Logarytm $\log_8\frac18$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść 8, żeby dostać $\frac18$. Odwrotność liczby to potęga $-1$.

   $$\log_8\frac{1}{8}=-1,\quad\text{bo}\quad 8^{-1}=\frac{1}{8}$$

   To odpowiedź B.

Drugi sposób: każdy logarytm osobno. Wszystkie liczby są potęgami dwójki: $8=2^3$, $4=2^2$, $32=2^5$. Stąd $8^{\frac23}=2^2=4$ i $8^{\frac53}=2^5=32$, czyli $\log_8 4=\frac23$ i $\log_8 32=\frac53$. Różnica: $\frac23-\frac53=-1$. Ten sposób jest dłuższy, ale dobrze sprawdza wynik z pierwszego.

Najprostszy sposób na zły wynik to odwrócony iloraz. Kto podzieli 32 przez 4, dostanie $\log_8 8=1$ i zaznaczy C. W różnicy logarytmów kolejność jest ważna jak w zwykłym odejmowaniu: $\log_8 4-\log_8 32$ to $\log_8\frac{4}{32}$, a nie $\log_8\frac{32}{4}$.

Szybki test, który łapie ten błąd: $\log_8 4$ jest mniejszy od $\log_8 32$, bo 4 jest mniejsze od 32. Różnica mniejszej liczby i większej musi więc wyjść ujemna, a to od razu skreśla odpowiedzi C i D.