Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 5: rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisz 4 jako potęgę dwójki

   $4=2^2$, a potęgę potęgi liczysz, mnożąc wykładniki.

   $$4^{12}=\left(2^2\right)^{12}=2^{24}$$

2. Połącz potęgi o tym samym wykładniku

   Teraz obie potęgi mają wykładnik 24, więc mnożysz same podstawy: $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

   $$2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}$$

3. Pierwsze stwierdzenie: podzielność przez 20

   $20=2\cdot10$. Z $10^{24}$ da się wyciągnąć dwadzieścia i zostaje liczba naturalna.

   $$10^{24}=20\cdot5\cdot10^{22}$$

   Liczba dzieli się przez 20, więc P.

4. Drugie stwierdzenie: liczba cyfr

   $10^1=10$ ma 2 cyfry, $10^2=100$ ma 3 cyfry, $10^3=1000$ ma 4 cyfry. Potęga $10^n$ to jedynka i $n$ zer, czyli $n+1$ cyfr. $10^{24}$ ma więc 25 cyfr, P.

Pułapka siedzi w drugim wierszu: $10^{24}$ ma 24 zera, ale 25 cyfr, bo przed zerami stoi jedynka. Kto pomyli liczbę zer z liczbą cyfr, zaznaczy F i straci punkt za całe zadanie, mimo że pierwszy wiersz ma dobrze.

Druga trudność to próba liczenia na kalkulatorze. $4^{12}=16\,777\,216$ jeszcze się zmieści, ale $5^{24}=59\,604\,644\,775\,390\,625$ ma 17 cyfr i zwykły kalkulator prosty jej nie pokaże. W tym zadaniu potrzebujesz tylko zamiany $4=2^2$, reszta wychodzi bez liczenia.