Arkusz CKE z 5 maja 2026 · zadanie 7

Matura 2026 · matematyka · poziom podstawowyZadanie 7: rozwiązanie krok po kroku

Dowód mieści się w dwóch zdaniach. Najpierw 7n² + 21n = 7n(n + 3), więc liczba dzieli się przez 7. Potem n(n + 3) jest zawsze parzyste: gdy n jest parzysta, parzysty jest pierwszy czynnik, a gdy nieparzysta, parzysta jest n + 3. Iloczyn ma więc czynnik 7 i czynnik 2, czyli dzieli się przez 14. Za takie pełne rozumowanie klucz CKE daje 2 punkty.

Rozwiązanie krok po krokudowód zapisany tak, jak chce klucz CKE

Odpowiedź · zadanie 7 $7n(n+3)$ czynnik 7 i czynnik 2, czyli 14

📝Otwarte, dowód, 2 pkt
📚Dowód podzielności
📄Arkusz MMAP-P0-100-2605, wersja A, s. 7
🔑Zgodne z kluczem CKE z 26 czerwca 2026

Treść zadania 7

Przepisane z arkusza CKE (arkusz MMAP-P0-100-2605, wersja A, strona 7). Oryginał w PDF: otwórz stronę 7 na cke.gov.pl.

Zadanie 7. (0–2)otwarte, dowód

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$ .

Rozwiązanie zadania 7 krok po kroku

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias

Oba składniki dzielą się przez $7n$ .

$7n^2+21n=7n(n+3)$

Już widać, że liczba dzieli się przez 7. Do 14 brakuje dwójki.
Pokaż, że n(n + 3) jest parzyste

Rozpatrz dwa przypadki. Jeśli $n$ jest parzysta, to iloczyn $n(n+3)$ ma parzysty czynnik $n$ . Jeśli $n$ jest nieparzysta, to $n+3$ jest parzysta, bo nieparzysta plus nieparzysta daje parzystą. W obu przypadkach $n(n+3)=2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ .
Zapisz wniosek

$\begin{gathered}7n^2+21n=7\cdot n(n+3)\\=7\cdot2m=14m\end{gathered}$

$m$ jest liczbą całkowitą, więc $7n^2+21n$ dzieli się przez 14. To należało wykazać. Ostatnie zdanie z wnioskiem jest częścią dowodu, więc go nie pomijaj.

Drugi sposób: rozpisanie przypadków. Parzystą liczbę zapisujesz jako $n=2k$ i wtedy:

\begin{gathered}7(2k)^2+21\cdot2k\\=28k^2+42k\\=14(2k^2+3k)\end{gathered}

Gdy $n$ jest nieparzysta, $n=2k+1$ , a wyrażenie to:

\begin{gathered}7(2k+1)^2+21(2k+1)\\=28k^2+70k+28\\=14(2k^2+5k+2)\end{gathered}

W obu nawiasach są liczby całkowite, więc obie postacie dzielą się przez 14. Klucz CKE uznaje ten sposób za pełne rozwiązanie, ale tylko z oboma przypadkami.

Odpowiedź $7n(n+3)$ czynnik 7 i czynnik 2, czyli 14

Za co klucz CKE daje 2 punkty, 1 punkt i 0

Zadanie 7 jest otwarte i warte 2 punkty. Zasady oceniania CKE z 26 czerwca 2026 dają pełne punkty za:

2 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. uzasadnienie, że liczba 7n² + 21n jest podzielna przez 7 i przez 2 LUB rozpatrzenie przypadku, gdy n = 2k, tj. uzasadnienie, że liczba 7 ⋅ (2k)² + 21 ⋅ (2k) jest podzielna przez 14, oraz rozpatrzenie przypadku, gdy n = 2k + 1, tj. uzasadnienie, że liczba 7 ⋅ (2k + 1)² + 21 ⋅ (2k + 1) jest podzielna przez 14.

1 punkt jest za połowę tej drogi: uzasadnienie samej podzielności przez 7 albo samej przez 2, albo tylko jeden z dwóch przypadków. Dwie uwagi z klucza odcinają częste skróty:

Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości n, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający zapisze równanie 7n(n + 3) = 0 (lub 7(n² + 3n) = 0), to nie uznaje się tego zapisu jako uzasadnienia podzielności wyrażenia 7n² + 21n przez 7.

Typowy błąd w zadaniu 7

Najdroższy błąd to sprawdzanie na przykładach. Dla $n=1$ wychodzi 28, dla $n=2$ wychodzi 70, oba dzielą się przez 14, ale kilka liczb niczego nie dowodzi i klucz daje za to 0 punktów za całe zadanie. Dowód musi działać dla każdego $n$ , dlatego pracujesz na literze.

Drugi częsty zapis to $7n(n+3)=0$ . Rozkład jest dobry, ale znak równości z zerem robi z niego równanie, którego nikt nie kazał rozwiązywać. Klucz mówi wprost, że taki zapis nie uzasadnia nawet podzielności przez 7. Pisz $7n^2+21n=7n(n+3)$ , bez „ $=0$ ”.

Trzeci błąd to zatrzymanie się po pierwszym kroku. Sam rozkład $7n(n+3)$ daje 1 punkt, bo pokazuje podzielność przez 7. Drugi punkt jest za zdanie o parzystości $n(n+3)$ z oboma przypadkami.

Podobne zadanie: matura z maja 2023, zadanie 3

W maju 2023 roku zadanie 3 wymagało tego samego pomysłu z parzystością. Trzeba było wykazać, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $(2n+1)^2-1$ jest podzielna przez 8.

(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)

Liczby $n$ i $n+1$ to dwie kolejne liczby, więc jedna z nich jest parzysta i $n(n+1)=2k$ . Stąd $4n(n+1)=8k$ . Klucz CKE z 2023 roku za sam zapis $4n(n+1)$ dawał 1 punkt, a za dopisanie parzystości 2 punkty, tak samo jak w 2026 roku. Dowody podzielności były na każdej z siedmiu matur podstawowych z lat 2023–2026; zestawienie jest w analizie matury podstawowej z matematyki.

Pytania o zadanie 7

Czy w dowodzie podzielności wystarczy sprawdzić kilka liczb?

Nie. Według zasad oceniania CKE sprawdzenie tezy tylko dla wybranych wartości n daje 0 punktów za całe rozwiązanie. Trzeba pokazać podzielność dla każdego n, na przykład przez rozkład 7n² + 21n = 7n(n + 3).

Dlaczego n(n + 3) jest zawsze parzyste?

Bo n i n + 3 mają różną parzystość: jeśli n jest parzysta, to n + 3 jest nieparzysta, i odwrotnie. W iloczynie zawsze jest więc jeden czynnik parzysty, a iloczyn z parzystym czynnikiem jest parzysty.

Ile punktów było za zadanie 7 z matury z matematyki 2026?

2 punkty: jeden za uzasadnienie podzielności przez 7 albo przez 2 (albo za jeden z przypadków n = 2k, n = 2k + 1), drugi za pełne rozumowanie z obiema częściami.

Inne zadania z arkusza

Aktualizacja: 3 listopada 2026Źródła: Arkusz CKE MMAP-P0-100-2605, s. 7 Zasady oceniania CKE, s. 6 Matura z matematyki podstawowejProfTutoring to marka Professional Tutoring sp. z o.o.

Na pierwszej lekcji sprawdzimy, gdzie dziecko traci punkty

40 minut z korepetytorem na zadaniach z arkuszy CKE, bez płatności. Po lekcji umawiamy krótką rozmowę z rodzicem: mówimy, co wyszło, i proponujemy plan. Jeśli nie pasuje, po prostu nie kontynuujesz. Zero ryzyka, zero zobowiązań!